POI2008 Triangles

POI
计算几何

POI2008 Triangles

题目大意：

平面上有n个点，求出所有以这n个点为顶点的三角形的面积和。

($n \le 3000$)

题解：

首先可以明确，我们用向量的叉积来获得三角形的面积。

如果直接枚举三个点，分别算面积的话，复杂度为$O(n^3)$显然会TLE。

但由于向量叉积的符号有正有负，我们没法利用前缀和之类的技巧来优化。

于是，可以这样:

先把点从左到右排序一下，每次取最左边的一个点。

把该点与该点右边的点连出的向量全部记录下来。

那么接下来就是算这些向量两两的叉积。

为了避免正负号的干扰，我们首先将它们极角排序。

之后即可利用前缀和来优化了。

综上，总的时间复杂度为$O(n^2logn)$ 。

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#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
void Rd(ll&res){
	res=0;char c;
	while(c=getchar(),c<48);
	do res=res*10+(c&15);
		while(c=getchar(),c>47);
}
const int N=3005;
struct Point{
	ll x,y;
	bool operator <(const Point&a)const{
		if(x!=a.x)return x<a.x;
		return y<a.y;
	}
}pos[N];
typedef Point Vector; 
Vector vec[N],sum;
ll operator* (const Vector&a,const Vector&b){
	return a.x*b.y-a.y*b.x;	
}
Vector operator+ (const Point&a,const Point&b){
	return (Vector){a.x+b.x,a.y+b.y};
}
Vector operator- (const Point&a,const Point&b){
	return (Vector){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
bool cmp(const Vector&a,const Vector&b){
	return a*b>0;
}
ll n,len;
int main(){
	Rd(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		Rd(pos[i].x),Rd(pos[i].y);
	sort(pos+1,pos+1+n);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){//原点 
		len=sum.x=sum.y=0;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			vec[++len]=pos[j]-pos[i];
			sum=sum+vec[len];
		}
		sort(vec+1,vec+1+len,cmp);//极角排序 
		for(int j=1;j<=len;j++){
			sum=sum-vec[j];
			ans+=vec[j]*sum;
		}
	}
	if(ans&1)printf("%lld.5\n",ans/2);
	else printf("%lld.0\n",ans/2);
	return 0;
}
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